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terça-feira, 22 de maio de 2012

FRAÇÃO

                                               FRAÇÃO

Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim, podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

Por ser uma forma diferente de representação numérica, a fração irá possui uma nomenclatura específica e poderá ser escrita em forma de porcentagem, números decimais (números com vírgula) e números mistos.

Assim, podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro, mas se comermos um pedaço, qual seria a representação numérica que esse pedaço e o resto do bolo representaria? Foi a necessidade de criar uma representação numérica para as partes de um inteiro que proporcionou o surgimento dos números fracionários que iremos estudar nesta seção.

Simplificação de Fração

Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o denominador através da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números. Uma fração está totalmente simplificada quando verificamos que seus termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si. Uma fração simplificada sofre alteração do numerador e do denominador, mas seu valor matemático não é alterado, pois a fração quando tem seus termos reduzidos se torna uma fração equivalente.

A fração  possui as seguintes frações equivalentes:  . Elas são formadas por elementos diferentes, mas todas possuem o mesmo valor proporcional. Nesse exemplo, temos que a fração  é a fração irredutível de  .

Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Você pode simplificar uma fração por partes, veja:



Ou você pode simplificar a fração uma única vez. Para isso, você deve identificar o máximo divisor comum aos dois termos. Observe:
O máximo divisor comum aos números 24 36 é o 12. Então, simplificamos da seguinte maneira:



Observe mais alguns exemplos de simplificação.



O MDC entre 32 e 40 é 8.


O MDC entre 63 e 81 é 9.


O MDC entre 90 e 120 é 30.


O MDC entre 36 e 66 é 6.


Portanto, para que uma fração se torne irredutível, devemos dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum ou realizar a simplificação por partes. Lembre-se de que toda fração irredutível possui inúmeras frações equivalentes

Adição e subtração de fração

As operações de adição e subtração com fração dependem unicamente do denominador, ou seja, dependem da quantidade de partes que um inteiro foi dividido. Podendo ser iguais ou diferentes, assim diferenciando a resolução.

Quando os denominadores forem iguais devemos somar ou diminuir as partes consideradas do inteiro (numeradores) e conservar as partes que o inteiro foi dividido (denominadores).

1/5 + 2/5 = 3/5, pois somamos os numeradores 1 + 2 e conservamos o denominador 5.

3/4 + 2/4 = 5/4, pois somamos os numeradores 3 + 2 e conservamos o denominador 4.

2/5 – 1/5 = 1/5, pois subtraímos os numeradores 2 -1 e conservamos o denominador 5.

Quando os denominadores forem diferentes é preciso torná-los iguais antes de resolver a operação de adição ou subtração, utilizando as técnicas que a redução de uma fração ao mesmo denominador oferece.

Para resolver 1/5 + 2/10 é preciso que encontremos o mmc de 5 e 10 (os denominadores diferentes das frações) que será o próprio 10. Encontrando assim as respectivas frações equivalentes 2/10 e 2/10. Com essas frações efetuamos a soma:

2/10 + 2/10 = 4/10, portanto 1/5 + 2/10 = 4/10.

Na operação de subtração o processo é o mesmo, só irá diferenciar-se ao operar.


Multiplicação com Fração

A multiplicação é uma operação básica que surge para simplificar a soma de parcelas iguais. Por exemplo, a adição 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, pode ser escrita através da multiplicação 2 * 9, que corresponde a 18. A operação da multiplicação é aplicada a qualquer conjunto numérico, dos Naturais aos Reais. No caso dos racionais, principalmente os números fracionários, a multiplicação deve ser utilizada respeitando algumas regras básicas, como multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.

Na multiplicação de números fracionários, é valido o jogo de sinal entre os fatores. Observe tabela de jogo de sinais:

(+) * (+) = (+)
(+) * (–) = (–)
(–) * (+) = (–)
(–) * (–) = (+)


Os exemplos a seguir demonstrarão passo a passo o andamento de uma multiplicação envolvendo números racionais na forma fracionária.

Exemplos:




Caso seja necessário, os produtos apresentados e que constituem frações, podem ser escritos de forma mais simples, isto é, na forma de fração irredutível. Para tal procedimento utilizamos a simplificação de frações, que é feita encontrando o maior divisor comum ao numerador e ao denominador. Veja exemplos de simplificação:

Divisão com frações

A resolução da operação de divisão envolvendo frações depende de algumas informações importantes, como:

• A divisão de dois números inteiros pode ter seu quociente (resultado da divisão) representado na forma de fração, desde que o divisor seja diferente de zero. Exemplo: a divisão dos números 10:13, pode ter seu quociente representado na forma de fração, assim: .

• Ao efetuarmos a expressão: 45: (5x3) podemos resolvê-la da seguinte forma:

45 : (5x3) = 45:5:3

Resolvendo pela ordem das operações teremos:

45:(5x3) = 45:5:3 = 9:3 = 3.

Com base nessas duas informações veja como podemos chegar ao quociente de uma divisão de duas frações.

Considere a divisão , observe cada passo tomado para a sua resolução.


A fração  pode ser representada pela operação da multiplicação da seguinte forma:

1 x 3
4    4

Assim escrevemos:



A divisão , pode ser resolvida da seguinte forma:


Representamos em um mesmo inteiro as duas frações e percebemos que: 


A fração 1/4 cabe duas vezes na fração 1/2, portanto, podemos dizer que:



Substituindo na expressão  temos:




Dessa forma, a divisão 

Como base nessa demonstração podemos concluir que:

, que simplificado é igual a 2/3, dessa forma, podemos deduzir a seguinte
definição para encontramos o quociente de uma divisão com fração:

O quociente de duas frações é o produto da primeira pelo inverso da segunda.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

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